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三角形ABC中,a+b≥2c,求证∠C≤60°
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三角形ABC中,a+b≥2c,求证∠C≤60°
▼优质解答
答案和解析
a+b≥2c,
(a+b)^2/4≥c^2,
-(a+b)^2/4<=-c^2,
所以
c^2=a^2+b^2-2abcosC
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
>=(a^2+b^2-(a+b)^2/4)/2ab
=(3a^2+3b^2-2ab)/8ab
>=(6ab-2ab)/8ab
=1/2
即cosC>=1/2,
所以
∠C≤60°.
(a+b)^2/4≥c^2,
-(a+b)^2/4<=-c^2,
所以
c^2=a^2+b^2-2abcosC
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
>=(a^2+b^2-(a+b)^2/4)/2ab
=(3a^2+3b^2-2ab)/8ab
>=(6ab-2ab)/8ab
=1/2
即cosC>=1/2,
所以
∠C≤60°.
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