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已知:在△ABC中,∠BAC=60°.(1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°,PA=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B,得到△ADB,连结DP.①依题意补全图1;②直接写出PB的
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已知:在△ABC中,∠BAC=60°.
(1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°,PA=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B,得到△ADB,连结DP.
①依题意补全图1;
②直接写出PB的长;
(2)如图2,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;
(3)如图3,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=
,PB=5,∠APC=120°,直接写出PC的长.
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(1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°,PA=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B,得到△ADB,连结DP.
①依题意补全图1;
②直接写出PB的长;
(2)如图2,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;
(3)如图3,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=
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▼优质解答
答案和解析
(1)①依题意补全图形,如图1所示,
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②由旋转有,AD=AP,BD=PC,∠DAB=∠PAC,
∴∠DAP=∠BAC=60°,
∴△ADP为等边三角形,
∴DP=PA=3,∠ADP=60°,
∵∠ADB=∠APC=150°,
∴∠BDP=90°,在Rt△BDP中,BD=4,DP=3,
根据勾股定理得,PB=5;
(2)如图2,
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把△APC绕点A顺时针旋转,使点C与点B重合,得到△ADB,连接PD,
∴△APC≌△ADB,
∴AD=AP=3,DB=PC=4,∠PAC=∠DAB,∠APC=∠2,
∴∠DAP=∠BAC,
∵∠BAC=60°,
∴∠DAP=60°,
∴△DAP是等边三角形,
∴PD=3,∠1=60°,
∴PD2+DB2=32+42=52=PB2,
∴∠PDB=90°,
∴∠2=30°,
∴∠APC=30°;
(3)如图3
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作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,则△ABQ∽△ACP,
∴∠AQB=∠APC=120°,
∵AB=2AC,
∴△ABQ与△ACP相似比为2,
∴AQ=2AP=2
,BQ=2CP,∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°,
∵
=2,
∴∠APQ=90°,PQ=3,
∴∠AQP=30°
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=120°-30°=90°,
根据勾股定理得,BQ=
=4,
∴PC=
BQ=2.
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②由旋转有,AD=AP,BD=PC,∠DAB=∠PAC,
∴∠DAP=∠BAC=60°,
∴△ADP为等边三角形,
∴DP=PA=3,∠ADP=60°,
∵∠ADB=∠APC=150°,
∴∠BDP=90°,在Rt△BDP中,BD=4,DP=3,
根据勾股定理得,PB=5;
(2)如图2,
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把△APC绕点A顺时针旋转,使点C与点B重合,得到△ADB,连接PD,
∴△APC≌△ADB,
∴AD=AP=3,DB=PC=4,∠PAC=∠DAB,∠APC=∠2,
∴∠DAP=∠BAC,
∵∠BAC=60°,
∴∠DAP=60°,
∴△DAP是等边三角形,
∴PD=3,∠1=60°,
∴PD2+DB2=32+42=52=PB2,
∴∠PDB=90°,
∴∠2=30°,
∴∠APC=30°;
(3)如图3
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作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,则△ABQ∽△ACP,
∴∠AQB=∠APC=120°,
∵AB=2AC,
∴△ABQ与△ACP相似比为2,
∴AQ=2AP=2
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∵
AQ |
AP |
∴∠APQ=90°,PQ=3,
∴∠AQP=30°
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=120°-30°=90°,
根据勾股定理得,BQ=
PB2-PQ2 |
∴PC=
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