等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x

Question

等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．
（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．

Answer 1

（1）设BP=x，则CP=6-x．
∵PE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=(x)/(2)，PE=(√(3))/(2)x，
∴S_△BEP=(1)/(2)BE•PE=(1)/(2)×(x)/(2)×(√(3))/(2)x=(√(3))/(8)x²，
同理，在Rt△CFP中，PF=√(3)（6-x）
∴S_△CFP=(1)/(2)PC•PF=(1)/(2)（6-x）×√(3)（6-x）=(√(3))/(2)（6-x）²，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴S_△ABC=(1)/(2)×6×3√(3)=9√(3)，
设四边形AEPF的面积为y．
∴y=9√(3)-(√(3))/(8)x²-(√(3))/(2)（6-x）²=-(5√(3))/(8)x²+6√(3)x-9√(3)；
∵当x=3时，四边形AEPF不存在，
∴自变量x的取值范围为3＜x＜6；

（2）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴(BP)/(CF)=(BE)/(CP)，
设BP=x，则CP=6-x．
∴(x)/(2)=(4)/(6−x)，
解得：x=2或4．
当x=2时，在△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=2，
∴PE=2√(3)；
当x=4时，在三角形△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=4，
∴△BEP是等边三角形，
∴PE=4．
∴PE的长为4或2√(3)．