方程x的立方-y的立方=xy+61有几组正整数解

Question

方程x的立方-y的立方=xy+61有几组正整数解

Answer 1

x^3-y^3=xy+61=(x-y)(x^2+xy+y^2)>0,且x,y为正整数
故x-y>0且值为正整数
x^3-y^3=xy+61=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^3+3xy(x-y)
移项得：(x-y)^3=61+xy-3xy(x-y)=61-xy【3（x-y）-1】
3（x-y）-1>0
所以：(x-y)^3<61,符合条件的x-y值只有：1,2,3
当x-y=1时,xy=30,故x=6,y=5
当x-y=2时,5xy=53,无正整数解
当x-y=3时,8xy=34,无正整数解
故符合条件的解只有x=6,y=5一组