已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）2+y2=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P；（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线y=3x+1与曲线E交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限

Question

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P；
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线y=√(3)x+1与曲线E交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C，使

OM

+

ON

与

OC

共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆．（4分）
设所求椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4∴b²=12
∴点P的轨迹方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1．（6分）
（2）假设存在满足题意的点C（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM

+

ON

=m

OC

（m∈R，且m≠0），
则（x₁+x₂，y₁+y₂）=m（x₀，y₀）．
∴x₀=(x1+x2)/(m)，y₀=(y1+y2)/(m)．
由√(y＝作业帮用户2017-09-17问题解析（1）利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．（2）先假设存在一点C并设出坐标，以及设出M，N的坐标，根据向量共线得出x0＝(x1+x2)/(m)，y0＝(y1+y2)/(m)，然后联立直线方程和椭圆方程，得出x1+x2，y1+y2，进而得出x0＝−(8√(3))/(15m)，y0＝(2)/(5m)，求出m的值，即可求出C的坐标．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．考点点评：本题考查了椭圆的定义以及直线与圆锥曲线问题，（1）问的关键是灵活掌握椭圆的定义．属于难题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)