一道数学题一个4位自然数恰好等于他自身各位数字之和的74倍,这个自然数最大是几?

Question

一道数学题
一个4位自然数恰好等于他自身各位数字之和的74倍,这个自然数最大是几?

Answer 1

这个4位自然数为abcd,各位上的数字最大都是9,所以其各位数字之和最大为：9+9+9+9=36,它的74倍为：36×74=2664.
因此,abcd≤2664,
则a=1和2,d为偶数；
当a=2时,由题意得：
2bcd=74(2+b+c+d)
2000+100b+10c+d=148+74b+74c+74d
整理为：
64c-26b=1852-73d
由于c最大为9,所以64c最大为576,上式左端小于576,而d最大是8,73d最大为584,上式右端最小为1852-584=1268,左右不等,故a不可能等于2.
那么只有a=1,此时有：
1000+100b+10c+d=74+74b+74c+74d
整理为：
64c-26b=926-73d
同理,64c最大为576,上式左端小于576,即：
926-73d350/73>4,d为偶数,所以d的可能值为：6和8,
①d=6,有：
64c-26b=926-438=488
得：
32c-13b=244
可见,b为偶数,b=0、2、4、6、8,分别代入检验,求出的c都不是整数,不符合要求；
②d=8,有：
64c-26b=926-584=342
得：
32c-13b=171
可见,b为奇数,b=1、3、5、7、9,分别代入检验,知：当b=9时,求得c=9.
所以符合要求的四位数是：1998.