如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；

Question

如图，四边形 ABCD 中，∠ A=∠B =90°， E 是 AB 的中点， DE 平分∠ ADC ，

（1）求证： CE 平分∠ BCD ；

Answer 1

（1）证法一：过点E作EF⊥CD，垂足为F ∵DE平分∠ADC∠A=90° ∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等） ∵E是AB的中点 ∴AE=BE ∴EF=BE ∵∠B=90° ∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上） 证法二：在DC上截取DF=DA，连接EF ∵DE平分∠ADC ∴∠ADE=∠FDE 在△ADE和△FDE中 AD=FD ∠ADE=∠FDE DE=DE ∴△ADE≌△FDE（SAS） ∴∠A=∠DFE，AE=EF ∵E是AB的中点 ∴AE=BE ∴EF=BE ∵∠A=∠B=90° ∴∠EFC=∠B=90° 在Rt△BCE和Rt△FCE中 EB=EF CE=CE ∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL） ∴∠BCE=∠FCE ∴CE平分∠BCD 证法三：延长DE交CB延长线于G 易证△ADE≌△BGE ∴DE=GE 又易得CG=CD ∴CE平分∠BCD（5分） （2）∵四边形ABCD中∠A=∠B=90° ∴∠ADC+∠BCD=180° ∵∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD ∴∠EDC+∠ECD=90° ∴∠DEC =90° ∴ 由（1）的证明可知△ADE≌△FDE且△BCE≌△FCE ∴（9分） （3）方法一：由（1）可证AD+BC=CD ∵ 由（2）知 ∴ ∴CD=25 方法二：由（1）可得 EF=AE=12 ∴CD=25