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以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图①当△ABC为直角三角形时,AM与DE

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以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当△ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是______,线段AM与DE的数量关系是______;
(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°(0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)ED=2AM,AM⊥ED;
证明:延长AM到G,使MG=AM,连BG,则ABGC是平行四边形,再延长MA交DE于H.
∴AC=BG,∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠ABG=∠DAE.
再证:△DAE≌△ABG
∴DE=2AM,∠BAG=∠EDA.
延长MA交DE于H,
∵∠BAG+∠DAH=90°,
∴∠HDA+∠DAH=90°.
∴AM⊥ED.

(2)结论仍然成立.
证明:如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,并连接BF.
∵DA⊥BA,EA⊥AF,
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD.
∵在△FAB和△EAD中,
FA=AE
∠BAF=∠EAD
BA=DA

∴△FAB≌△EAD(SAS)
∴BF=DE,∠F=∠AEN,
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°.
∴FB⊥DE.
又∵CA=AF,CM=MB.
∴AM∥FB,且AM=
1
2
FB,
∴AM⊥DE,AM=
1
2
DE.