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三角形ABC为直角三角形,角BAC=90,AF垂直于BC,D为AC上一点,且BD=DC=FC=1,则AC为
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三角形ABC为直角三角形,角BAC=90,AF垂直于BC,D为AC上一点,且BD=DC=FC=1,则AC为
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答案和解析
AC=3次根号2
设AD=x,AF与BD交于点E,由题设易知AD=DE,
故BE=1-x
又△BEF∽△ACF得BF=(1-x)/(1+x)①
再设AB=y,BF=z,则x²+y²=1② ,y²=z(z+1)③ (射影定理)
由①,②,③有x²+2(1-x)/(1+x)²=1
即(x-1)[(x+1)(1+x)²-2]=0,∵x≠1
∴(x+1)^3-2=0
∴x=(3次根号2)-1,
故AC=AD+DC=(3次根号2)-1+1=3次根号2
设AD=x,AF与BD交于点E,由题设易知AD=DE,
故BE=1-x
又△BEF∽△ACF得BF=(1-x)/(1+x)①
再设AB=y,BF=z,则x²+y²=1② ,y²=z(z+1)③ (射影定理)
由①,②,③有x²+2(1-x)/(1+x)²=1
即(x-1)[(x+1)(1+x)²-2]=0,∵x≠1
∴(x+1)^3-2=0
∴x=(3次根号2)-1,
故AC=AD+DC=(3次根号2)-1+1=3次根号2
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