4．为防止意外事故,在矿井内同时安装两种警报系统A与B,每种系统单独作用时,其有效率A为0.92,B为0.93,在A失灵的条件下B的有效率为0.85.求：（1）发生事故时,这两种警报系统至少有一个有效的

Question

4．为防止意外事故,在矿井内同时安装两种警报系统A与B,每种系统单独作用时,其有效率A为0.92,B为0.93,在A失灵的条件下B的有效率为0.85.求：（1）发生事故时,这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2）在B失灵的情况下A有效的概率

Answer 1

记事件A:A有效,事件B:B有效,则由题意：P(A)=0.92,P(B)=0.93.
A失灵的条件下B的有效率为0.85即为 P(B|A补)=0.85.A补即为A的对立事件.
因此 P(B|A补)=P(A补 交 B)/P(A补)=0.85,P(A补)=1-P(A)=0.08,所以
P(A补 交 B)=0.068,又因为 P(A补 交 B)+P(A 交 B)=P(B)=0.93,所以
P(A 交 B)=0.862.从而(1)中所求即为 P(A 并 B)=P(A)+P(B)-P(A 交 B)=
0.93+0.92-0.862=0.988
对于(2),所求为 P(A|B补).因为 P(A|B补)=P(A 交 B补)/P(B补)
P(A 交 B补)=P(A)-P(A 交 B)=0.92-0.862=0.058,所以
P(A|B补)=P(A 交 B补)/P(B补)
=0.058/0.07=0.829
即在B失灵的情况下A有效的概率为 0.829