如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=43．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求

Question

如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=(4)/(3)．
（1）求CD边的长；
（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）如图（3），分别延长AD、BC相交于E，
在Rt△ABE中，
∵tanA=(4)/(3)，AB=3，BC=2，
∴BE=4，EC=2，AE=5，
又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
由tanA=(4)/(3)，得cosA=(3)/(5)，
∴cos∠ECD=(CD)/(EC)=(3)/(5)，
∴CD=(6)/(5)；

（2）如图4，由（1）可知tan∠ECD=(ED)/(CD)=(4)/(3)，
∴ED=(8)/(5)，
如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，
∴(ED)/(EP)=(DC)/(PQ)，
∴((8)/(5))/((8)/(5)+x)=((6)/(5))/(PQ)，即PQ=(6)/(5)+(3)/(4)x，
∵S_{四边形PQCD}=S_△EPQ-S_△EDC，
∴y=(1)/(2)PQ•EP-(1)/(2)DC•ED=(1)/(2)×((6)/(5)+(3)/(4)x)×((8)/(5)+x)-(1)/(2)×(6)/(5)×(8)/(5)=(3)/(8)x2+(6)/(5)x，
∴当Q点到达B点时，点P在M点处，
由EC=BC，DC∥PQ，
∴DM=ED=(8)/(5)，
∴自变量x的取值方范围为：0<x≤(8)/(5)．