求4阶实对称阵的特征值A=[310-1;13-10;0-131;-1013],请问手算的话应该怎么算呢

Question

求4阶实对称阵的特征值
A=[3 1 0 -1;1 3 -1 0;0 -1 3 1;-1 0 1 3],请问手算的话应该怎么算呢

Answer 1

设特征值是a
3-a 1 0 -1
1 3-a -1 0
0 -1 3-a 1
-1 0 1 3-a
可以发现每行的和是相等的,等于3-a
把第二、三、四列都加到第一列上去,提出3-a
然后第2、3、4行分别减去第一行,这样第一列就剩下第一行一个1 其它全为0
得到
(3-a)*
2-a -1 1
-2 3-a 2
-1 1 4-a
再把第一列前两行全变为0
(3-a)*
0 1-a 1+(4-a)*(2-a)
0 1-a 2a-6
-1 1 4-a
得到
(a-3)*
1-a 1+(4-a)*(2-a)
1-a 2a-6
提出1-a
(a-3)*(1-a)*
1 1+(4-a)*(2-a)
1 2a-6
得到
(a-3)*(1-a)*[2a-6-1-(4-a)*(2-a)]=(a-3)*(1-a)*[-a^2+8a-15]=(a-1)*(a-3)^2*(a-5)
所以特征值为1 3（2重）5