设A=111,131,111（A为3x3矩阵）,求一个可逆矩阵P,使P（-1）AP为对角矩阵.（P(-1)表示P的逆矩阵）

Question

设A=【111,131,111】（A为3x3矩阵）,求一个可逆矩阵P,使P（-1）AP为对角矩阵.（P(-1)表示P的逆矩阵）

Answer 1

|xE-A|=[x-1,-1,-1;-1,3x-1,-1;-1,-1,1-x]=0
得到x(x-1)(x-4)=0
矩阵的特征根为x=0,x=1,x=4；
求特征向量
x=0；
-x1-x2-x3=0；
-x1-3x2-x3=0；
-x1-x2-x3=0；
(x1,x2,x3)=(-1,0,1)
x=1；
'-x2-x3=0','-x1-2*x2-x3=0','-x1-x2=0'
(x1,x2,x3)=(1,-1,1)；
x=4
'3*x1-x2-x3=0','-x1+x2-x3=0','-x1-x2+3*x3=0'
(x1,x2,x3)=(1,2,1)；
则P=[-1 0 1;1 -1 1;1 2 1];（分号之间隔开的是列）