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四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有()A.150种B.147种C.144种D.141种
题目详情
四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有( )
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
▼优质解答
答案和解析
从10个点中任取4个点有C104种取法,
其中4点共面的情况有三类.
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4C64种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),
它的4顶点共面,有3种.
以上三类情况不合要求应减掉,
∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种.
故选D.
其中4点共面的情况有三类.
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4C64种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),
它的4顶点共面,有3种.
以上三类情况不合要求应减掉,
∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种.
故选D.
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