高等数学第6版P142最下面注释1带佩亚诺余项的n阶泰勒公式是在f(x)的n阶导数在区间(a,b)有界的条件下推出的.事实上此公式只要在“f(x)在含有x0的区间（a,b）内具有直到n阶的导数,且f(x)的n阶

Question

高等数学第6版P142 最下面注释1
带佩亚诺余项的n阶泰勒公式是在f(x)的n阶导数在区间(a,b)有界的条件下推出的.事实上此公式只要在“f(x)在含有x0的区间（a,b）内具有直到n阶的导数,且f(x)的n阶导数在（a,b）内连续”的条件下就成立.
请问第二句话如何理解,请证明.

Answer 1

这几天我也在看这里,有界的定义是存在一个正整数M,使得定义域内所有的
丨f(x)丨≤M,“在f(x)的n阶导数在区间(a,b)有界”意味着n-1阶n-2阶.导函数是可导的,这样才可以一直求导,假设其中一阶导数不可导了,那么就得不到n阶导数；
“f(x)在含有x0的区间（a,b）内具有直到n阶的导数,且f(x)的n阶导数在（a,b）内连续”这也意味着f(x)的n阶导数存在且有界,如果f(x)的n阶导数无界,那么意味着n-1阶导函数不可导.
所以以上两个条件是一致的.
貌似说得也没道理.