（2011•北京一模）设总体X的概率分布为X123P1-θθ-θ2θ2其中θ∈（0，1）未知，以Ni来表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1，2，3）试求常数a1，a

Question

（2011•北京一模）设总体X的概率分布为

X	1	2	3
P	1-θ	θ-θ2	θ2

其中θ∈（0，1）未知，以N_i来表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1，2，3）试求常数a₁，a₂，a₃，使T＝

3

i＝1

aiNi为θ的无偏估计量，并求T的方差．

Answer 1

由已知得：
N₁～B（n，1-θ），N₂～B（n，θ-θ²），N₃～B（n，θ²），
因为：
E（T）=E(

3

i＝1

aiNi)=a₁E（N₁）+a₂E（N₂）+a₃E（N₃）=a₁n（1-θ）+a₂n（θ-θ²）+a₃nθ² 
=na₁+n（a₂-a₁）θ+n(a3−a2)θ2，
由：E（T）=θ，
得：a1＝0，a2＝(1)/(n)，a3＝(1)/(n)，
于是：T＝(1)/(n)N2+(1)/(n)N3＝(1)/(n)(n−N1)，
所以T的方差为：
D(T)＝D((n−N1)/(n))＝(D(N1))/(n2)＝(nθ(1−θ))/(n2)＝(θ(1−θ))/(n)．