求X^4+2X^3-X^2-121不可分解我只知道要用反证法做,(要具体过程)有理数范围内

Question

求X^4+2X^3-X^2-121不可分解
我只知道要用反证法做,(要具体过程)
有理数范围内

Answer 1

假设x^4+2x^3-x^2-121可分解
因为最高次是4次方且系数为1
所以令分解的结果是:x^4+2x^3-x^2-121=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d),其中a、b、c、d都是有理数
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)
=[x^2+(a+b)x+ab][x^2+(c+d)x+cd]
=x^4+(a+b+c+d)x^3+(ab+cd+ac+ad+bc+bd)x^2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd
所以：
(1).a+b+c+d=2
(2).ab+cd+ac+ad+bc+bd=-1
(3).abc+abd+acd+bcd=0
(4).abcd=-121=-11×11
由(4)可得,只有当a=b=1,c=-11,d=11时,(1)成立
而此时(2)、(3)均不成立
假设不成立