已知：四边形ABCD中，∠DAB=120°，对角线AC平分∠DAB（1）当∠B=∠D=90°时．求证：AB+AD=AC；（2）当∠B+∠D=180°时，线段AB，AD，AC有怎样的数量关系？并证明．

Question

已知：四边形ABCD中，∠DAB=120°，对角线AC平分∠DAB
（1）当∠B=∠D=90°时．求证：AB+AD=AC；
（2）当∠B+∠D=180°时，线段AB，AD，AC有怎样的数量关系？并证明．

Answer 1

证明：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=(1)/(2)AC，即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
证明如下：如图2，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠B+∠CDA=180°，∠CDA+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠B．
在△CED与△CFB中，

∠CDE＝∠B

∠CED＝∠CFB

CE＝CF

∴△CED≌△CFB（AAS）．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+ED=AE+AF．
∵AC为角平分线，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=(1)/(2)AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．