如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A．155B．153C．103D．105

Question

如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，则直线AE与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值是（　　）

A．(√(15))/(5)
B．(√(15))/(3)
C．(√(10))/(3)
D．(√(10))/(5)

Answer 1

以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，
∴A（1，0，0），E（1，(1)/(2)，1），B（1，1，0）
D₁（0，0，1），
∴

AE

=（0，(1)/(2)，1），

AB

=（0，1，0），

AD1

=（-1，0，1），
设平面ABC₁D₁的法向量

n

＝(x，y，z)，
则

n

•

AD1

=0，

n

•

AB

=0，
∴

−x+z＝0

y＝0

，∴

n

＝(1，0，1)，
设直线AE与平面与平面ABC₁D₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|(1)/(√(2)•√((5)/(4)))|=(√(10))/(5)．
故选：D．