limx→0cos(sinx)−cosxx2(1−cosx)．

Question

lim

x→0

(cos(sinx)−cosx)/(x2(1−cosx))．

Answer 1

注意到sinx＜x（x＞0），
故对函数cosx在区间[sinx，x]上利用拉格朗日中值定理可得，
cos（sinx）-cosx=-sinξ（sinx-x），其中ξ∈（sinx，x），
从而原极限=

lim

x→0

(cos(sinx)−cosx)/(x2(1−cosx))=

lim

x→0

(sinξ(x−sinx))/(x2(1−cosx))．
因为

lim

x→0

sinx＝0，

lim

x→0

(sinx)/(x)＝1，
故利用夹逼定理可得，

lim

x→0

ξ=0，

lim

x→0

(ξ)/(x)=1．
从而，

lim

x→0

(sinξ)/(ξ)=

lim

ξ→0

(sinξ)/(ξ)=1．
利用洛必达大致可得，

lim

x→0

(x−sinx)/(x(1−cosx))=

lim

x→0

(1−cosx)/(1−cosx+xsinx)=

lim

x→0

(sinx)/(2sinx+xcosx)=

lim

x→0

(cosx)/(3cosx−xsinx)=(1)/(3)．
从而，原极限=

lim

x→0

(sinξ(x−sinx))/(x2(1−cosx))=

lim

x→0

(sinξ)/(ξ)•

lim

x→0

(ξ)/(x)•

lim

x→0

(x−sinx)/(x(1−cosx))=(1)/(3)．