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Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,设数列{bn}前n项和Tn,且λ≤Tn对一切n∈N*都成立,试求λ的最大值.

题目详情
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
anan+1
,设数列{bn}前n项和Tn,且λ≤Tn对一切n∈N*都成立,试求λ的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由an2+2an=4Sn+3,①
可知an-12+2an-1=4Sn-1+3,②(n≥2)
①-②得:an2-an-12+2an-2an-1=4an,
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).
∵an>0,∴an+an-1≠0,
∴an-an-1=2(n≥2),
∴{an}是以a1=3为首项,d=2为公差的等差数列.
an=2n+1(n∈N*).
(2)bn=
1
anan+1
=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
).
Tn=b1+b2+…+bn=
1
2
[(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+3
)]=
n
3(2n+3)

∵λ≤Tn对一切n∈N*成立,∴λ≤T1
λ≤
1
15
,即的最大值为
1
15