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Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,设数列{bn}前n项和Tn,且λ≤Tn对一切n∈N*都成立,试求λ的最大值.
题目详情
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
,设数列{bn}前n项和Tn,且λ≤Tn对一切n∈N*都成立,试求λ的最大值.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
1 |
anan+1 |
▼优质解答
答案和解析
(1)由an2+2an=4Sn+3,①
可知an-12+2an-1=4Sn-1+3,②(n≥2)
①-②得:an2-an-12+2an-2an-1=4an,
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).
∵an>0,∴an+an-1≠0,
∴an-an-1=2(n≥2),
∴{an}是以a1=3为首项,d=2为公差的等差数列.
∴an=2n+1(n∈N*).
(2)bn=
=
=
(
-
).
Tn=b1+b2+…+bn=
[(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
.
∵λ≤Tn对一切n∈N*成立,∴λ≤T1.
∴λ≤
,即的最大值为
.
可知an-12+2an-1=4Sn-1+3,②(n≥2)
①-②得:an2-an-12+2an-2an-1=4an,
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).
∵an>0,∴an+an-1≠0,
∴an-an-1=2(n≥2),
∴{an}是以a1=3为首项,d=2为公差的等差数列.
∴an=2n+1(n∈N*).
(2)bn=
1 |
anan+1 |
1 |
(2n+1)(2n+3) |
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+3 |
Tn=b1+b2+…+bn=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
7 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+3 |
n |
3(2n+3) |
∵λ≤Tn对一切n∈N*成立,∴λ≤T1.
∴λ≤
1 |
15 |
1 |
15 |
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