在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B（0,-4）,C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B（0,-4）,C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式

Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0) ,B（0,-4） ,C（2,0） 三点． （1）求抛物线的解析式；
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0) ,B（0,-4） ,C（2,0） 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线 上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．
请帮忙做一下第（3）小题,参考答案Q点坐标有四个,可我只能求出前3个,请问Q点坐标为（4,-4）怎么求?

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,C（2,0）,
∴ 16a-4b+c=0 c=-4 4a+2b+c=0 ,
解得 a=1 2 b=1 c=-4 ,
∴抛物线解析式为y=1 2 x2+x-4；
（2）∵点M的横坐标为m,
∴点M的纵坐标为1 2 m2+m-4,
又∵A（-4,0）,
∴AO=0-（-4）=4,
∴S=1 2 ×4×|1 2 m2+m-4|=-（m2+2m-8）=-m2-2m+8,
∵S=-（m2+2m-8）=-（m+1）2+9,点M为第三象限内抛物线上一动点,
∴当m=-1时,S有最大值,最大值为S=9；
故答案为：S关于m的函数关系式为S=-m2-2m+8,当m=-1时,S有最大值9；
（3）∵点Q是直线y=-x上的动点,
∴设点Q的坐标为（a,-a）,
∵点P在抛物线上,且PQ∥y轴,
∴点P的坐标为（a,1 2 a2+a-4）,
∴PQ=-a-（1 2 a2+a-4）=-1 2 a2-2a+4,
又∵OB=0-（-4）=4,
以点P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形,
∴|PQ|=OB,
即|-1 2 a2-2a+4|=4,
①-1 2 a2-2a+4=4时,整理得,a2+4a=0,
解得a=0（舍去）或a=-4,
-1 2 a2-2a+4=-1 2 ×（-4）2-2×（-4）+4=-8+8+4=4,
所以点Q坐标为（-4,4）,
②-1 2 a2-2a+4=-4时,整理得,a2+4a-16=0,
解得x=-2±2 5 ,
所以点Q的坐标为（-2+2 5 ,2-2 5 ）或（-2-2 5 ,2+2 5 ）,
综上所述,Q坐标为（-4,4）或（-2+2 5 ,2-2 5 ）或（-2-2 5 ,2+2 5 ）时,使点P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形．
是不是?