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已知函数f(x)=2x+2ax+b且f(1)=52,f(2)=174.(1)求a,b的值:(2)判断并证明f(x)的奇偶性:(3)判斯并证明函数f(x)在[0,+∞)的单调性,并求f(x)的值域.

题目详情
已知函数f(x)=2x+2ax+b且f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4

(1)求a,b的值:
(2)判断并证明f(x)的奇偶性:
(3)判斯并证明函数f(x)在[0,+∞)的单调性,并求f(x)的值域.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4
,∴
2+2a+b=
5
2
22+22a+b=
17
4
,解得
a=-1
b=0

(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,f(x)的定义域为R.f(-x)=2-x+2x=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)f(x)在[0,+∞)上是增函数.
f′(x)=2xln2-2-xln2=ln2(2x-
1
2x
).
∵x≥0,∴2x≥1,∴2x-
1
2x
≥0,∴f′(x)≥0.
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数.fmin(x)=f(0)=2,
∴f(x)的值域是[0,+∞).