证明:设方阵A满足A²-A-2E＝0,证明A,E-A都可逆,并求A∧-1和（E-A）∧-1

Question

证明:设方阵A满足A²-A-2E＝0,证明A,E-A都可逆,并求A∧-1和（E-A）∧-1

Answer 1

由已知,A*(A-E)=2E ,（*）
所以 |A|*|A-E|=2^n （n为矩阵的阶）,
因此,A、A-E 均可逆 .
由 （*）可知,A^-1=1/2*(A-E) ,(A-E)^-1=1/2*A ,所以 (E-A)^-1=-1/2A .