已知A（0,-3）B（2,3）设点P为抛物线X²=Y上一点求△PAB面积的最小值及最小值时点P的坐标

Question

已知A（0,-3）B（2,3）设点P为抛物线X²=Y 上一点
求△PAB面积的最小值及最小值时点P 的坐标

Answer 1

已知A(0,-3),B(2,3)
则|AB|=√[(0-2)²+(-3-3)²]=2√10
设点P为抛物线x²=y上一点
当△PAB面积的最小值时,AB边上的高最小
要求这样的P,即是求抛物线上离直线AB最短的点
直线AB斜率是k=(-3-3)/(0-2)=3
y=x²
y'=2x
令y'=2x=3
得x=3/2
所以y=x²=9/4
所以这样的点P是(3/2,9/4)
直线AB是y-3=3(x-2)
即3x-y-3=0
所以点P到直线AB的距离是d=|3*(3/2)-9/4-3|/√(9+1)=3√10/40
即AB边上的高是h=3√10/40
所以△PAB面积的最小值是S=(1/2)*2√10*3√10/40=3/4
最后结论是:△PAB面积的最小值是3/4,最小值时点P的坐标是(3/2,9/4)