设多项式f(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+2b与g(x)=x^3-3x^2+ax+b有公因式x+1,则f(x)与g(x)的最大公因式是

Question

设多项式f(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+2b与g(x)=x^3-3x^2+ax+b有公因式x+1,则f(x)与g(x)的最大公因式是

Answer 1

f(x)=x^4+x^3-7x^2+ax+2b
=x^4+x^3-7x^2-7x+7x+ax+2b
=x^3(x+1)-7x(x+1)+(7+a)x+2b
=(x^3-7x)(x+1)+(7+a)x+2b
∴要使得f(x)能被x+1整除,7+a得等于2b,即7+a=2b.（这步比较关键,可以用反证法或者系数待定法证明!）
同理,根据g(x)能被x+1整除,得出4+a=b.
联合两式可得,a=-1,b=3
∴f(x)=x^4+x^3-7x^2-1x+6
=(x^3-7x)(x+1)+6x+6
=(x^3-7x+6)(x+1)
=(x^3-x^2+x^2-x+x-7x+6)(x+1)
=[x^2(x-1)+x(x-1)-6(x-1)](x+1)
=(x^2+x-6)(x-1)(x+1)
=(x+3)(x-2)(x-1)(x+1)
g(x)=x^3-3x^2-x+3
=(x^2-4x+3)(x+1)
=(x-3)(x-1)(x+1)
∴很明显得到,f(x)与g(x)的最大公因式为(x-1)(x+1),即x²-1.