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(2012•蓟县模拟)已知,点P是∠MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°.(1)利用图1,求证:PA=PB;(2)如图2,若点C
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(2012•蓟县模拟)已知,点P是∠MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用图1,求证:PA=PB;
(2)如图2,若点C是AB与OP的交点,当S△POB=3S△PCB时,求PB与PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP的长.
(1)利用图1,求证:PA=PB;
(2)如图2,若点C是AB与OP的交点,当S△POB=3S△PCB时,求PB与PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)作PE⊥OM,PF⊥ON,垂足为E、F
∵四边形OEPF中,∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,
∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,
∴∠EPA=∠FPB,
由角平分线的性质,得PE=PF,
∴△EPA≌△FPB,即PA=PB;
(2)∵S△POB=3S△PCB,
∴PO=3PC,
由(1)可知△PAB为等腰三角形,则∠PBC=
(180°-∠APB)=
∠MON=∠BOP,
又∵∠BPC=∠OPB(公共角),
∴△PBC∽△POB,
∴
=
,
即PB2=PO•PC=3PC2,
∴
=
(3)作BH⊥OT,垂足为H,
当∠MON=60°时,∠APB=120°,
由PA=PB,得∠PBA=∠PAB=
(180°-∠APB)=30°,
又∵∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,
∴∠ABO=
(180°-30°)=75°,则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°,
在△OBP中,∵∠BOP=30°,∴∠BPO=45°,
在Rt△OBH中,BH=
OB=1,OH=
,
在Rt△PBH中,PH=BH=1,
∴OP=OH+PH=
+1.
∵四边形OEPF中,∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,
∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,
∴∠EPA=∠FPB,
由角平分线的性质,得PE=PF,
∴△EPA≌△FPB,即PA=PB;
(2)∵S△POB=3S△PCB,
∴PO=3PC,
由(1)可知△PAB为等腰三角形,则∠PBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵∠BPC=∠OPB(公共角),
∴△PBC∽△POB,
∴
PB |
PO |
PC |
PB |
即PB2=PO•PC=3PC2,
∴
PB |
PC |
3 |
(3)作BH⊥OT,垂足为H,
当∠MON=60°时,∠APB=120°,
由PA=PB,得∠PBA=∠PAB=
1 |
2 |
又∵∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,
∴∠ABO=
1 |
2 |
在△OBP中,∵∠BOP=30°,∴∠BPO=45°,
在Rt△OBH中,BH=
1 |
2 |
3 |
在Rt△PBH中,PH=BH=1,
∴OP=OH+PH=
3 |
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