已知等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；（2）设bn=2(-1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）设bn=2(-1)nan，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
∴

a

2 2

=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d=2或-1．
其中d=-1时，a₂=0，舍去．
∴d=2，可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=(n(1+2n-1))/(2)=n²．
（2）bn=2(-1)nan=2(-1)n(2n-1)．
∴当n为偶数时，(bn+2)/(bn)=(22n+3)/(22n-1)=16．当n为奇数时，(bn+2)/(bn)=(2-(2n+3))/(2-(2n-1))=(1)/(16)．
∴数列{b_n}的奇数项是以(1)/(2)为首项，(1)/(16)为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．
∴数列{b_n}的前2n项和T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=((1)/(2)×[1-((1)/(16))n])/(1-(1)/(16))+(8×(16n-1))/(16-1)
=(8)/(15)（16ⁿ-16^-n）．