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四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1).纪念币ABCD概率aa这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(1)求ξ的分布列及数学期望;(2)在概
题目详情
四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1).
这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)在概率P (ξ=i ) (i=0,1,2,3,4)中,若P (ξ=2 )的值最大,求a的取值范围.
纪念币 | A | B | C | D |
概率 | ![]() | ![]() | a | a |
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)在概率P (ξ=i ) (i=0,1,2,3,4)中,若P (ξ=2 )的值最大,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4,然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率,列出分布列,最后利用数学期望公式解之即可;
(2)根据0<a<1可知P (ξ=0)<P (ξ=1),P (ξ=4)<P (ξ=3)只需P (ξ=2)-P (ξ=1)≥0且P (ξ=2)-P (ξ=3)≥0,解之即可求出a的取值范围.
【解析】
(1)P (ξ)是ξ个正面向上的概率,其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
∴P (ξ=0)=C2(1-
)2C2(1-a)2=
(1-a)2,
P (ξ=1)=C21•
(1-
)C2(1-a)2+C2(1-
)2C21a(1-a)=
(1-a)
P (ξ=2)=C22•(
)2C2(1-a)2+C21•
(1-
)C21a(1-a)+C2(1-
)2C22a2=
(1+2a-2a2),
P (ξ=3)=C22•(
)2C21a(1-a)+C21•
(1-
)C22a2=
,
P (ξ=4)=C22(
)2C22a2=
a2.
∴ξ的分布列为:
∴ξ的数学期望为:Eξ=0×
(1-a)2+1×
(1-a)+2×
(1+2a-2a2)+3×
+4×
a2=2a+1.(7分)
(2)∵0<a<1,∴P (ξ=0)<P (ξ=1),P (ξ=4)<P (ξ=3)
则P (ξ=2)-P (ξ=1)=
(1+2a-2a2)-
(1-a)=-
(2a2-4a+1)≥0
P (ξ=2)-P (ξ=3)=
(1+2a-2a2)-
=-
(2a2-1)≥0
由
,得
≤a≤
,
即a的取值范围是[
,
].(12分)
(2)根据0<a<1可知P (ξ=0)<P (ξ=1),P (ξ=4)<P (ξ=3)只需P (ξ=2)-P (ξ=1)≥0且P (ξ=2)-P (ξ=3)≥0,解之即可求出a的取值范围.
【解析】
(1)P (ξ)是ξ个正面向上的概率,其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
∴P (ξ=0)=C2(1-
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P (ξ=1)=C21•
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8435e5dde71190ef10f4b86ecb1b9d16fdfa6077.jpg)
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P (ξ=2)=C22•(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b2a7db752f81f4134970a5a20.jpg)
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P (ξ=3)=C22•(
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P (ξ=4)=C22(
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∴ξ的分布列为:
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | |
P | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
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(2)∵0<a<1,∴P (ξ=0)<P (ξ=1),P (ξ=4)<P (ξ=3)
则P (ξ=2)-P (ξ=1)=
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P (ξ=2)-P (ξ=3)=
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由
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即a的取值范围是[
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