已知凸四边形长分别为为a,b,c,d,对角线相交的锐角（与b,d边对应）为45º,记S为该四边形的面积,求证：S=1/4(a²-b²+c²-d²﹚

Question

已知凸四边形长分别为为a,b,c,d,对角线相交的锐角（与b,d边对应）为45º,记S为该四边形的面积,
求证：S=1/4(a²-b²+c²-d²﹚

Answer 1

设AC与BD的交点为O,b,d所对应的角∠AOC=∠BOC=45º,分别算4个三角形的面积.
有余弦定理：d²=AO²+OD²-2OA.ODcos45º
S(AOD)=1/2.AO.OD.sin45º=(AO²+OD²-d²)/4
同理
S(AOB)=1/2.AO.BO.sin135º=(a²-OA²-OB²)/4
S(BOC)=(BO²+OC²-b²)/4
S(COD)=(c²-OB²-OC²)/4
所以：S=S(SOD)+S(AOB)+S(BOC)+A(COD)
=(a²-b²+c²-d²)/4