高等代数难题设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为1021-12132-21-2（1）求A的核与值域（2）求核的一组基及值域的一组基设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的

Question

高等代数难题
设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为
1 0 2 1
-1 2 1 3
2 -2 1 -2
（1）求A的核与值域
（2）求核的一组基及值域的一组基
设e1,e2,e3,e4是四维线性空间F的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
A的矩阵是1 0 2 1
-1 2 1 3
1 2 5 5
2 -2 1 -2
（1）求A的核与值域
（2）求核的一组基及值域的一组基

Answer 1

1、令Ax＝0,做一般的线性方程组的求解即可.
第一行加到第二行,第三行减去第一行,第四行减去第一行的2倍,容易得到
基础解系是(－2,－3/2,1,0)和(－1,－2,0,1).
记w1＝－2e1－3/2e2+e3,w2＝－e1－2e2+e4,则
Ker即为W＝{x：x＝k1w1+k2w2,k1,k2为任意}.
A的前两列线性无关,因此记
s1＝e1－e2+e3+2e4,s2＝2e2+2e3－2e4,
则值域S＝｛x：x＝k1s1+k2s2,k1,k2任意｝.
2、Ker的基和值域的基上面已经给出了,不知第一问要求Ker和值域应该用什么样子表示.