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求x²dx/(a²-x²)½的不定积分.(a﹥0)
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求x²dx/(a²-x²)½的不定积分.(a﹥0)
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令x = asinθ,dx = acosθdθ
√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = |acosθ| = acosθ
∫ x²/√(a² - x²) dx
= ∫ (a²sin²θ)/(acosθ) * (acosθ)dθ
= ∫ a² * (1 - cos2θ)/2 dθ
= (a²/2)(θ - 1/2 * sin2θ) + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (a²/2) * x/a * √(a² - x²)/a + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (x/2)√(a² - x²) + C
√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = |acosθ| = acosθ
∫ x²/√(a² - x²) dx
= ∫ (a²sin²θ)/(acosθ) * (acosθ)dθ
= ∫ a² * (1 - cos2θ)/2 dθ
= (a²/2)(θ - 1/2 * sin2θ) + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (a²/2) * x/a * √(a² - x²)/a + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (x/2)√(a² - x²) + C
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