圆内接四边形对角线互相垂直,求证：(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和(2)两条对角线之积等于两组对边之积的和;(3)经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.

Question

圆内接四边形对角线互相垂直,求证：(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和
(2)两条对角线之积等于两组对边之积的和;(3)经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.

Answer 1

如图
 

(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和
AB²＝AM²＋BM²,
CD²＝CM²＋DM²,
∴AB²＋CD²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²,
同理BC²＋DA²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²,
∴AB²＋CD²＝BC²＋DA².
⑵经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.
提示；
由∠DCA＝∠DBA＝∠AMF＝∠CME,
故EM＝EC,
同理EM＝ED,
因此EC＝ED,
即E为CD的中点；
⑶两条对角线之积等于两组对边之积的和

 
在AC上取一点N,使∠NDA＝∠CDB,
又∠DAC＝∠DBC,
∴⊿NDA∽⊿CDB,
AD/AN＝BD/BC,
∴AD·BC＝AN·BD；……………………①
由⊿NDA∽⊿CDB,
得DA/DB＝DN／DC
又由∠NDA＝∠CDB,
得∠BDA＝∠CDN,
∴⊿DAB∽⊿DNC,
∴AB／NC＝BD／CD,
∴AB·CD＝NC·BD,……………………②
由①＋②得
AD·BC＋AB·CD＝﹙AN＋NC﹚BD＝AC·BD,
即AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.