如图所示，在以O为圆心，半径为R=103cm的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.10T，方向垂直纸面向外．竖直平行放置的两金属板A、K相距为d=203mm，连在如图所示的

Question

如图所示，在以O为圆心，半径为R=10√(3)cm的圆形区域内，有一个水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.10T，方向垂直纸面向外．竖直平行放置的两金属板A、K相距为d=20√(3)mm，连在如图所示的电路中．电源电动势E=91V，内阻r=1.0Ω，定值电阻R₁=10Ω，滑动变阻器R₂的最大阻值为80Ω，S₁、S₂为A、K板上的两个小孔，且S₁、S₂跟O在竖直极板的同一直线上，OS₂=2R，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D点之间的距离为H=2R．比荷为2.0×10⁵C/kg的正离子流由S₁进入电场后，通过S₂向磁场中心射去，通过磁场后落到荧光屏D上．离子进入电场的初速度、重力、离子之间的作用力均可忽略不计．
问：（1）请分段描述正离子自S₁到荧光屏D的运动情况．
（2）如果正离子垂直打在荧光屏上，电压表的示数多大？
（3）调节滑动变阻器滑片P的位置，正离子到达荧光屏的最大范围多大？

Answer 1

（1）正离子在两金属板间受到电场力而作匀加速直线运动，离开电场后做匀速直线运动，进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，离开磁场后，离子又做匀速直线运动，直到打在荧光屏上．
（2）设离子由电场射出后进入磁场时的速度为v．因离子是沿圆心O的方向射入磁场，由对称性可知，离子射出磁场时的速度方向的反向延长线也必过圆心O．离开磁场后，离子垂直打在荧光屏上（图中的O′点），则离子在磁场中速度方向偏转了90°，由几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的半径
r′=R=10√(3)cm①
设离子的电荷量为q、质量为m，进入磁场时的速度为v有
由qvB=m(v2)/(r′)得r′＝(mv)/(qB) ②
设两金属板间的电压为U，离子在电场中加速，由动能定理有：
qU＝(1)/(2)mv2③
而(q)/(m)=2×105C/kg ④
由②③两式可得U=(B2r′2q)/(2m)⑤
代入有关数值可得U=30V，也就是电压表示数为30V．
（3）因两金属板间的电压越小，离子经电场后获得的速度也越小，离子在磁场中作圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，也就越可能射向荧光屏的左侧．
由闭合电路欧姆定律有，I=(E)/(R1+R2+r)=1A．
当滑动片P处于最右端时，两金属板间电压最大，为U_max=I（R₁+R₂）=90V
当滑动片P处于最左端时，两金属板间电压最小，为U_min=IR₁=10V
两板间电压为U_min=10V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最左端点，由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v₁=2×10³m/s，离子在磁场中做圆运动的半径为r₁=0.1m．
此时粒子进入磁场后的径迹如图答2所示，O₁为径迹圆的圆心，A点为离子能射到荧光屏的最左端点．由几何知识可得：
tan(α)/(2)=(r1)/(R)=(√(3))/(3)，所以α=60°
所以AO′=Htan（90°-α）=2×10√(3)×(√(3))/(3)cm=20cm
而两板间电压为U_max=90V时，离子射在荧光屏上的位置为所求范围的最右端点，此时粒子进入磁场后的径迹如图答3所示，
同理由②③可解得离子射出电场后的速度大小为v₁=6×10³m/s，离子在磁场中做圆运动的半径为r₁=0.3m，或直接由⑤式求得r₂=0.3m
由几何知识可得tan(β)/(2)＝(r2)/(R)＝√(3)即β=120°
所以O′B=Htan（β-90°）=2×10√(3)×(√(3))/(3)cm=20cm
离子到达荧光屏上的范围为以O′为中点的左右两侧20cm．
答：（1）正离子自S₁到荧光屏D的运动情况是正离子在两金属板间作匀加速直线运动，离开电场后做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场后，离子又做匀速直线运动，直到打在荧光屏上．
（2）如果正离子垂直打在荧光屏上，电压表的示数30V．
（3）调节滑动变阻器滑片P的位置，正离子到达荧光屏的最大范围是以O′为中点的左右两侧20cm．