如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°

Question

如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．
（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK___MK（填“>”，“<”或“=”），你的依据是___；
（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK（填“>”或“<”）；
（3）猜想：如图1，当0°<∠CDF<60°时，AM+CK___MK，试证明你的猜想．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=(1)/(2)AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK>MK，
（3）AM+CK>MK，
证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．

∵点G是点A关于直线DE的对称点
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中点，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
∵

GD=CD

∠GDK=∠CDK

DK=DK

，
∴△GDK≌△CDK（SAS），
∴GK=CK，
∵GM+GK>MK，
∴AM+CK>MK．