二阶常系数线性非齐次方程含有三角函数的方程特解怎么求,cosβx和sinβx前面的系数怎么设,比如y"+y=xcos2x,特解是y=(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x,A=-1/3,B=0,C=0,D=4/9.完全看不懂为什么要设成这样.

Question

二阶常系数线性非齐次方程含有三角函数的方程
特解怎么求,cosβx和sinβx前面的系数怎么设,比如y"+y=xcos2x,特解是y=(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x,A=-1/3,B=0,C=0,D=4/9.完全看不懂为什么要设成这样.

Answer 1

y"+y=0 ,r^2+1=0可以求出通解 ：y=C1cosβx+C2sinβx .
另原方程右边xcos2x=f(x) 则有：
f(x)=xcos2x 是 xe^(2ix)=x(cos2x+isin2x)的实部.
考虑方程 y"+y= xe^(2ix)
这里i是特征方程的单根 （因为满足 r^2+p+q=i^2+r=i^2+1=0；且2r+p=2i+0不等于0）
所以特解形式为 Y（x）= x[A0x^(m)+A1x^(m-1)+ ...+Am ]e^(rx)形式