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O是等边三角形ABC内任意一点,从O点分别向BC,CA,AB做垂线,垂足分别为D,E,F,求证：AF+BD+CE为定值
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O是等边三角形ABC内任意一点,从O点分别向BC,CA,AB做垂线,垂足分别为D,E,F,求证：AF+BD+CE为定值
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答案和解析
由三角形ABC的面积相等做
过A作AH垂直BC于H
则 三角形ABC的面积=1/2BC*AH
因为 三角形ABC可分成 三角形ABO,三角形BCO,三角形CAO
所以 三角形ABC的面积=三角形ABO的面积+三角形BCO的面积+三角形CAO的面积
因为 三角形ABO的面积=1/2AB*OF,三角形BCO的面积=1/2BC*OD,三角形CAO的面积=1/2AC*OE,AB=BC=AC
所以 三角形ABC的面积=1/2BC*(OF+OD+OE)
因为 三角形ABC的面积=1/2BC*AH
所以 OF+OD+OE=AH
所以 OF+OD+OE为定植
过A作AH垂直BC于H
则 三角形ABC的面积=1/2BC*AH
因为 三角形ABC可分成 三角形ABO,三角形BCO,三角形CAO
所以 三角形ABC的面积=三角形ABO的面积+三角形BCO的面积+三角形CAO的面积
因为 三角形ABO的面积=1/2AB*OF,三角形BCO的面积=1/2BC*OD,三角形CAO的面积=1/2AC*OE,AB=BC=AC
所以 三角形ABC的面积=1/2BC*(OF+OD+OE)
因为 三角形ABC的面积=1/2BC*AH
所以 OF+OD+OE=AH
所以 OF+OD+OE为定植
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