求方程7x+19y=213的所有正整数解．

Question

求方程7x+19y=213的所有正整数解．

Answer 1

用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x=(213-9y)/(7)=30-2y+(3-5y)/(7)②
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y=(3-7u)/(5)=-u-+(3-2u)/(5)③，
令(3-2u)/(5)=v，则2u+5v=3．④
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x₀=25，y₀=2，
所以它的一切解为

x=25-19t

y=2+7t

，
由于要求方程的正整数解，所以

25-19t＞0

2+7y＞0

，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：

x=25

y=2

和

x=6

y=9

．