把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，则异面直线DC与AB所成角的正切值为（）A．3B．213C．217D．不存在

Question

把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，则异面直线DC与AB所成角的正切值为（　　）

A．√(3)
B．(√(21))/(3)
C．(√(21))/(7)
D．不存在

Answer 1

以A为原点，AB、AD所在直线分别为y轴和z轴，建立如图坐标系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：√(3)：2．Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：√(2)：1，
设AD=√(2)，则AB=√(6)，AB=AC=√(3)
则A（0，0，0），B（0，-√(6)，0），C（(√(6))/(2)，-(√(6))/(2)，0），D（0，0，√(2)）
∴

AB

=（0，-√(6)，0），

DC

=（(√(6))/(2)，-(√(6))/(2)，-√(2)）
可得

|AB|

=√(6)，

|DC|

=√(5)，
∴cos＜

AB

，

DC

＞=(0×(√(6))/(2)+(−√(6))×(−(√(6))/(2))+0×(−√(2)))/(√(6)×√(5))=(√(30))/(10)
根据同角三角函数关系，得sin＜

AB

，

DC

＞=√(1−(3)/(10))=(√(70))/(10)，tan＜

AB

，

DC

＞=((√(70))/(10))/((√(30))/(10))=(√(21))/(3)
即异面直线DC与AB所成角的正切值为(√(21))/(3)
故选B