椭圆y225+x29＝1与双曲线y215−x2＝1有公共点P，则P与双曲线二焦点连线构成三角形面积为（）A.4B.55C.5D.3

Question

椭圆(y2)/(25)+(x2)/(9)＝1与双曲线(y2)/(15)−x2＝1有公共点P，则P与双曲线二焦点连线构成三角形面积为（　　）
A. 4
B. 5√(5)
C. 5
D. 3

Answer 1

由题意知椭圆与双曲线共焦点，焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），
根据椭圆的定义得：PF₁+PF₂=10，
根据双曲线的定义得：PF₁-PF₂=2√(15)，
∴PF₁=5+√(15)，PF₂=5-√(15)，
在三角形PF₁F₂中，又F₁F₂=8
由余弦定理得：
cos∠F₁PF₂=(PF12+PF22 −F1F22)/(2PF1PF2)=(4)/(5)
P与双曲线二焦点F₁F₂连线构成三角形面积为S=(1)/(2)PF₁•PF₂sin∠F₁PF₂=(1)/(2)（5+√(15)）（5-√(15)）×(3)/(5)=3
故选D．