如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2

Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2√(17)，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．

（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D-GEFH的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ） 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴(EB)/(AB)=(KB)/(DB)=(1)/(4)，
∴KB=(1)/(4)DB=(1)/(2)OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=(1)/(2)PO，即G为PB中点，且GH=(1)/(2)BC=4，
由已知可得OB=4√(2)，PO=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S=(1)/(2)(4+8)×3=18
∵D到平面GEFH的距离为6，
∴四棱锥D-GEFH的体积为(1)/(3)×18×6=36．