设W1,…,Ws是有限维空间V的真子空间,则存在V的一个基,使得其中的每一个向量均不在W1,…,Ws中．

Question

设W1,…,Ws是有限维空间V的真子空间,则存在V的一个基,使得其中的每一个向量均不在W1,…,Ws中．

Answer 1

证：先证明W1,W2,……,Ws的并集W是V的真子集.
先取a不在W1中,a可能不在W2中,如果a在W2中,则选b不在W2中,作向量a+kb,其中k是数域F的任意数,如果W1中存在两个形如a+kb的元素a+k1b,a+k2b,则它们的差属于W1,推出b在W1中,又a+k1b在W1中,推出a在W1中,矛盾!所以至多只有一个k值使a+kb属于W1,同理可证,至多只有一个k值使a+kb属于W2,也就是说存在无穷多个这样的a+kb不属于W1且不属于W2,于是任取一个a+kb代替a,得到：存在元素a,它不属于W1也不属于W2.
如果这个a属于W3,则取b不在W3中,同上可得存在a+kb不在W1,W2,W3中,用它代替a,则a不在W1,W2,W3中.
重复这种过程得知,存在向量a,它不属于W.
任取不属于W的向量a1,取与a1线性无关的向量b,作a1+kb（其中k不为零）,这种向量有无穷多个,而每个Wi至多含有一个这样的元素,所以必存在k使得a1+kb不属于W,记这个元素为a2.它与a1线性无关.
取与a1,a2线性无关的向量b,作a1+kb（k非零）,同上可知存在这样的a1+kb,它不属于W,将它记作a3,则a1,a2,a3线性无关.
照这样下去,可以得到V的基a1,a2,a3,…… ,an.其中每个向量不属于W1,W2,……,Wn.