在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．13B．24C．22D．223

Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=AA₁=1，则D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为（　　）

A．(1)/(3)
B．(√(2))/(4)
C．2√(2)
D．(2√(2))/(3)

Answer 1

如图，分别以DA，DC，DD₁三条边所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
根据题意知，D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值等于向量

D1C1

和平面A₁BC₁的法向量夹角余弦值的绝对值；
根据已知的边的长度，可求以下几点坐标：
D₁（0，0，1），C₁（0，2，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0）；
∴

D1C1

＝(0，2，0)，

A1C1

＝(−1，2，0)，

A1B

＝(0，2，−1)；
设平面A₁BC₁的法向量为

n

＝(x，y，z)，则

n

•

A1C1

＝0

n

•

A1B

＝0

；
∴

−x+2y＝0

2y−z＝0

，取y=1，∴

n

＝(2，1，2)；
∴|cos＜

D1C1

，

n

＞|＝|(D1C1•n)/(|D1C1||n|)|＝|(2)/(2×3)|=(1)/(3)．
故选A．