我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A.63aB.52aC.223aD.a

Question

我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

(√(3))/(2)a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（　　）

A.

(√(6))/(3)a

B.

(√(5))/(2)a

C.

(2√(2))/(3)a

D. a

Answer 1

类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值(√(3)a)/(2)，
在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，
如图：
由棱长为a可以得到BF=(√(3))/(2)a，BO=AO=(√(6))/(3)a，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把数据代入得到OE=(√(6))/(12)a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×(√(6))/(12)a=(√(6))/(3)a，
故选：A．