如图所示，已知椭圆的方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（）A．22B．33C．63D．223

Question

如图所示，已知椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（　　）

A．(√(2))/(2)
B．(√(3))/(3)
C．(√(6))/(3)
D．(2√(2))/(3)

Answer 1

令椭圆的右端点为M，连接CM，由题意四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，B，C在椭圆上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，则有∠OCM=90°，故可得k_OC×k_CM=-1
又四边形OABC为平行四边形，B，C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，故C的横坐标为(a)/(2)，代入椭圆的方程得
(((a)/(2))2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，解得y=±(√(3))/(2)b，
由图形知C（(a)/(2)，(√(3))/(2)b），故有kOC＝((√(3)b)/(2))/((a)/(2))，kCM＝((√(3)b)/(2))/(−(a)/(2))，所以有((√(3)b)/(2))/((a)/(2))×((√(3)b)/(2))/(−(a)/(2))＝−1解得a²=3b²，故可得c²=2b²，所以e²=(2)/(3)，得e=(√(6))/(3)
故选C