设p为椭圆等x2m+y224=1（m≥32）上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若cos∠F1PF2=513则△PF1F2的面积是（）A．48B．16C．32D．与

Question

设p为椭圆等 (x2)/(m) +(y2)/(24) =1（m≥32）上的一点，F ₁ ，F ₂ 是该椭圆的两个焦点，若cos∠F ₁ PF ₂ = (5)/(13) 则△PF ₁ F ₂ 的面积是（　　）

A．48	B．16
C．32	D．与m有关的值

Answer 1

∵m≥32，可得椭圆的焦点在x轴上
∴长轴2a=2

m

，c ² =m+24
∵△F ₁ PF ₂ 中，cos∠F ₁ PF ₂ = (5)/(13)
∴|F ₁ F ₂ | ² =|F ₁ P| ² +|PF ₂ | ² -2F ₁ P•PF ₂ cos∠F ₁ PF ₂ ，
即4c ² =（|F ₁ P|+|PF ₂ |） ² -2F ₁ P•PF ₂ （1+cos∠F ₁ PF ₂ ）
可得4c ² =4a ² -2F ₁ P•PF ₂ （1+ (5)/(13) ），得 (18)/(13) F ₁ P•PF ₂ =2a ² -2c ² =2b ² =48
∴F ₁ P•PF ₂ = (104)/(3)
∵sin∠F ₁ PF ₂ =

1-((5)/(13) ) 2

= (12)/(13)
∴由正弦定理，得△PF ₁ F ₂ 的面积为
S _△ P F 1 F 2 = (1)/(2) F ₁ P•PF ₂ sin∠F ₁ PF ₂ = (1)/(2) × (104)/(3) × (12)/(13) =16
故选：B