已知函数f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2](x不为0)1,判断奇偶性2,证明f（x）大于零

Question

已知函数f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2](x不为0) 1,判断奇偶性 2,证明f（x）大于零

Answer 1

f(-x)=-x[1/(2^ (-x)-1) +1/2]
=-x[2^x/(1-2^x) +1/2]
=-x[(2^x-1+1)/(1-2^x) +1/2]
=-x[-1+1/(1-2^x) +1/2]
=-x[1/(1-2^x) -1/2]
=x[1/(2^ x-1) +1/2]
f(x)
因此是偶函数
证明：
定义域 2^x - 1不等于 0,所以 x不等于0
当x>0时
2^x > 1,所以 1/(2^x-1)+1/2 > 0,
所以 f(x) > 0
当x< 0 时
0 < 2^x < 1,-1 < 2^x - 1 < 0
所以 1/(2^x-1) < -1,1/(2^x-1)+1/2 < -1/2 < 0
所以 f(x) > 0
综上所述,f(x)>0
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