已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于（）A．233RB．33RC．32RD．3R

Question

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于（　　）

A．(2√(3))/(3)R
B．(√(3))/(3)R
C．(√(3))/(2)R
D．√(3)R

Answer 1

设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r
则h²+（2r）²=（2R）²，得r²=R²-(1)/(4)h²．（0＜h＜2R）
∴圆柱的体积为V（h）=πr²h=πh（R²-(1)/(4)h²）=πR²h-(1)/(4)πh³．（0＜h＜2R）
求导数，得V'（h）=πR²-(3)/(4)πh²=π（R+(√(3)h)/(2)）（R-(√(3)h)/(2)）
∴0＜h＜(2√(3)R)/(3)时，V'（h）＞0；(2√(3)R)/(3)＜h＜2R时，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在区间（0，(2√(3)R)/(3)）上是增函数；在区间（(2√(3)R)/(3)，2R）上是减函数
∴当h=(2√(3)R)/(3)时，V（h）取得最大值．
故选：A