如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B1D交BC1于E．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）若二面角B1-AD-B的正切值为233

Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B₁D交BC₁于E．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）若二面角B₁-AD-B的正切值为(2√(3))/(3)，求直线BC1与底面ABC所成角．

Answer 1

（1）证明：(DE)/(EB1)=(BD)/(B1C1)=(1)/(2)，连结AB₁，
∵(DE)/(EB1)＝(DG)/(GA)=(1)/(2)，GE不包含于AB₁，AB₁⊂平面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B．
（2）过B₁作B₁F⊥AB，交AB延长线于F，
过F作AD的垂线，交AD延长线于E，
连B₁E，则∠B₁EF为二面角B₁-AD-B的平面角，
从而tan∠B₁EF=(2√(3))/(3)，
设正三角形ABC边长为a，则(EF)/(DB)＝(AF)/(AB)＝(3)/(2)，
∴EF=(3)/(2)DB＝(3)/(4)a，
则B1F =A₁O=(3)/(4)a•(2)/(3)√(3)=(√(3))/(2)a，从而AA₁=AB，
连OD并延长到H，使DH=OD，
则OH

∥

.

A₁C₁，故四边形A₁OHC₁为平行四边形，
∴C₁H⊥平面ABC，∠C₁BH为直线BC1与底面ABC所成角，
∵OH与BC互相平分，∴四边形OCHB为平行四边形，
∴BH=OC=

作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）连结AB₁，则

(DE)/(EB1)＝(DG)/(GA)=(1)/(2)，由此能证明GE∥侧面AA₁B₁B．
（2）过B₁作B₁F⊥AB，交AB延长线于F，过F作AD的垂线，交AD延长线于E，连B₁E，则∠B₁EF为二面角B₁-AD-B的平面角，从而tan∠B₁EF=(2√(3))/(3)，设正三角形ABC边长为a，连OD并延长到H，使DH=OD，∠C₁BH为直线BC1与底面ABC所成角，由此能求出直线BC1与底面ABC所成角．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与底面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议