设F为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF|，则双曲线的离心率为（）A.22B.233C.23D.3

Question

设F为双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为(1)/(2)|OF|，则双曲线的离心率为（　　）

A. 2

√(2)

B.

(2√(3))/(3)

C. 2

√(3)

D. 3

Answer 1

双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）渐近线方程y=±(b)/(a)x，
由OF的垂直平分线为x=(c)/(2)，将x=(c)/(2)，代入y=(b)/(a)x，则y=(bc)/(2a)，
则交点坐标为（(c)/(2)，(bc)/(2a)），
由（(c)/(2)，(bc)/(2a)），到y=-(b)/(a)x，即bx+ay=0的距离d=(丨(bc)/(2)+(bc)/(2)丨)/(√(a2+b2))=(1)/(2)|OF|=(c)/(2)，
解得：c=2b=2√(c2-a2)，即4a²=3c²，
则双曲线的离心率e=(c)/(a)=(2√(3))/(3)，
故选：B．